Apostila sobre frações 5
Multiplicação
Sabemos que 3 x 5 = 5 + 5 + 5 =15.
Nestes dois exemplos estamos utilizando a idéia de que multiplicar por 3 é somar 3 parcelas iguais.
O problema é que não podemos utilizar essa mesma idéia para efetuar, por exemplo,
Da mesma forma:
Esta multiplicação não é uma adição de parcelas iguais. Em casos como este devemos considerar a multiplicação de outra maneira.
Sabemos que expressões como "o dobro de", "o triplo de", etc., estão relacionadas com multiplicações. Estas expressões são expressões multiplicativas.
Analogamente, as expressões "a metade de", "a terça parte de", "a quarta parte de",
ou um meio de um terço , de um quarto , de, conduzem a divisões.
Para se ter a metade, é necessário dividir por 2.
Para se ter a terça parte, é necessário dividir por 3.
E assim por diante.
Vamos utilizar essas idéias e nos apoiar em desenhos para interpretar a multiplicação de frações.
Comecemos pelo exemplo citado:
O que queremos saber é quanto vale "o dobro" da "terça parte" de quatro nonos.
Começamos por representar quatro nonos:
Depois, marcamos "a terça parte"
Por último, marcamos "o dobro" da "terça parte"
Agora, vamos repetir o desenho destacando apenas o resultado:
Quanto vale a parte marcada, em relação ao retângulo todo? A parte marcada corresponde a 8/27 do retângulo todo. Concluímos que
Podemos resumir tudo isso numa regra simples:
Para multiplicar frações, multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si.
Para confirmar esta regra, podemos testá-la em outras multiplicações:
Vamos calcular
Temos:
Queremos a metade de 1/4:
A figura nos mostra que a metade de 1/4 é 1/8 ou seja:
Divisão
Temos três caminhos para chegar ao resultado de uma divisão de frações.
1° caminho: REPARTINDO
Podemos encontrar o resultado de algumas divisões de frações utilizando a idéia de repartir.
Por exemplo, se repartimos 1/3de uma barra de chocolate entre 2 crianças, cada uma receberá a metade de 1/3 da barra:
Então, o resultado da divisão de 1/3 por 2 é 1/6.
2° caminho: QUANTAS VEZES CABE?
Em outros casos encontramos o resultado verificando quantas vezes um número cabe no outro.
Com números naturais estamos acostumados a fazer isto. Por exemplo, se queremos achar o resultado de 8 dividido por 4, procuramos quantas vezes 4 cabe em 8. Como 4 cabe 2 vezes em 8 (2 x 4 = 8), dizemos que 8 : 4 = 2.
Podemos aplicar esta idéia a frações. Quando procuramos o resultado de 1/2 dividido por 1/4:
Como se pode perceber, as idéias de "repartir" e de "quantas vezes cabe"
são equivalentes. É uma questão de se achar mais fácil ou mais difícil
usar cada uma delas, em cada caso.
3° caminho: TRANSFORMANDO O DIVIDENDO E O DIVISOR
Em certos casos é impraticável encontrar o resultado de uma divisão por meio de desenhos. Por exemplo: qual é o resultado de 3/ 7 dividido por 11/5?
Nesses casos, utilizamos duas idéias que já conhecemos:
1a. idéia: Quando se multiplica o dividendo e o divisor por um mesmo número, o quociente não se altera. Tanto faz escrever 10 : 5 ou 20 : 10.
O resultado é 2.
2a. idéia: O inverso multiplicativo. Aplicamos essa idéia de maneira a transformar o divisor em 1, o que facilita a divisão pois qualquer número dividido por 1 resulta nele mesmo.
Mas, atenção: é preciso aplicar simultaneamente as duas idéias. Vejamos um exemplo:
Neste exemplo multiplicamos o dividendo e o divisor por 5/11.. Mas, por
que motivo escolhemos 5/11 para multiplicar o dividendo e o divisor?
Fizemos esta escolha porque 5/11 é o inverso multiplicativo do divisor e
transforma o divisor em 1.
Então temos:
Acontece que qualquer número dividido por 1 resulta nele mesmo.
Então, o ponto de interrogação vale 3/7 x 5/11.Ora, o ponto de interrogação está no lugar da resposta do problema inicialmente proposto:
Chegamos à seguinte conclusão, que é a regra mais geral para a multiplicação de frações:
Para dividir uma fração por outra, multiplicamos a primeira pela segunda invertida.
Voltamos ao problema proposto:
O uso das operações com frações
No passado, quando as medidas eram expressas por frações, as operações com frações eram bastante utilizadas.
Hoje em dia, como usamos os números decimais para expressar as medidas, as operações com frações são menos usadas. Embora os livros didáticos apresentem vários problemas em que essas operações são utilizadas, a maioria é constituída por operações bastante artificiais.
Isso não quer dizer que as operações com frações sejam inúteis. Elas são importantes e até mesmo essenciais na Matemática mais avançada que envolve cálculos algébricos.
Por isso vale a pena o ensino das operações com frações. Apenas ressaltamos que, primeiro, as crianças devem compreender bem as idéias básicas e fazer apenas operações simples, sempre com o uso de desenhos e nunca decorando regras.
As técnicas operatórias, que discutimos nesta segunda parte da lição, só devem ser ensinadas depois que as crianças tenham compreendido perfeitamente o que significa cada operação.
Como o estudo de frações costuma ser feito em duas etapas ( 3a. ou 4a. série e, de novo, na 5a. série), as técnicas operatórias podem ficar para a segunda etapa.
Alguns especialistas em ensino de Matemática acham até que as regras só deveriam ser apresentadas quando os alunos já estão estudando os cálculos algébricos.
É uma questão polêmica que só pode ser resolvida por cada professor, em função de seus alunos. Não é prudente estabelecer regras gerais em casos como este.
Apostila sobre frações 5
Multiplicação
Sabemos que 3 x 5 = 5 + 5 + 5 =15.
Nestes dois exemplos estamos utilizando a idéia de que multiplicar por 3 é somar 3 parcelas iguais.
O problema é que não podemos utilizar essa mesma idéia para efetuar, por exemplo,
Da mesma forma:
Esta multiplicação não é uma adição de parcelas iguais. Em casos como este devemos considerar a multiplicação de outra maneira.
Sabemos que expressões como "o dobro de", "o triplo de", etc., estão relacionadas com multiplicações. Estas expressões são expressões multiplicativas.
Analogamente, as expressões "a metade de", "a terça parte de", "a quarta parte de",
ou um meio de um terço , de um quarto , de, conduzem a divisões.
Para se ter a metade, é necessário dividir por 2.
Para se ter a terça parte, é necessário dividir por 3.
E assim por diante.
Vamos utilizar essas idéias e nos apoiar em desenhos para interpretar a multiplicação de frações.
Comecemos pelo exemplo citado:
O que queremos saber é quanto vale "o dobro" da "terça parte" de quatro nonos.
Começamos por representar quatro nonos:
Depois, marcamos "a terça parte"
Por último, marcamos "o dobro" da "terça parte"
Agora, vamos repetir o desenho destacando apenas o resultado:
Quanto vale a parte marcada, em relação ao retângulo todo? A parte marcada corresponde a 8/27 do retângulo todo. Concluímos que
Podemos resumir tudo isso numa regra simples:
Para multiplicar frações, multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si.
Para confirmar esta regra, podemos testá-la em outras multiplicações:
Vamos calcular
Temos:
Queremos a metade de 1/4:
A figura nos mostra que a metade de 1/4 é 1/8 ou seja:
Divisão
Temos três caminhos para chegar ao resultado de uma divisão de frações.
1° caminho: REPARTINDO
Podemos encontrar o resultado de algumas divisões de frações utilizando a idéia de repartir.
Por exemplo, se repartimos 1/3de uma barra de chocolate entre 2 crianças, cada uma receberá a metade de 1/3 da barra:
Então, o resultado da divisão de 1/3 por 2 é 1/6.
2° caminho: QUANTAS VEZES CABE?
Em outros casos encontramos o resultado verificando quantas vezes um número cabe no outro.
Com números naturais estamos acostumados a fazer isto. Por exemplo, se queremos achar o resultado de 8 dividido por 4, procuramos quantas vezes 4 cabe em 8. Como 4 cabe 2 vezes em 8 (2 x 4 = 8), dizemos que 8 : 4 = 2.
Podemos aplicar esta idéia a frações. Quando procuramos o resultado de 1/2 dividido por 1/4:
Como se pode perceber, as idéias de "repartir" e de "quantas vezes cabe"
são equivalentes. É uma questão de se achar mais fácil ou mais difícil
usar cada uma delas, em cada caso.
3° caminho: TRANSFORMANDO O DIVIDENDO E O DIVISOR
Em certos casos é impraticável encontrar o resultado de uma divisão por meio de desenhos. Por exemplo: qual é o resultado de 3/ 7 dividido por 11/5?
Nesses casos, utilizamos duas idéias que já conhecemos:
1a. idéia: Quando se multiplica o dividendo e o divisor por um mesmo número, o quociente não se altera. Tanto faz escrever 10 : 5 ou 20 : 10.
O resultado é 2.
2a. idéia: O inverso multiplicativo. Aplicamos essa idéia de maneira a transformar o divisor em 1, o que facilita a divisão pois qualquer número dividido por 1 resulta nele mesmo.
Mas, atenção: é preciso aplicar simultaneamente as duas idéias. Vejamos um exemplo:
Neste exemplo multiplicamos o dividendo e o divisor por 5/11.. Mas, por
que motivo escolhemos 5/11 para multiplicar o dividendo e o divisor?
Fizemos esta escolha porque 5/11 é o inverso multiplicativo do divisor e
transforma o divisor em 1.
Então temos:
Acontece que qualquer número dividido por 1 resulta nele mesmo.
Então, o ponto de interrogação vale 3/7 x 5/11.Ora, o ponto de interrogação está no lugar da resposta do problema inicialmente proposto:
Chegamos à seguinte conclusão, que é a regra mais geral para a multiplicação de frações:
Para dividir uma fração por outra, multiplicamos a primeira pela segunda invertida.
Voltamos ao problema proposto:
O uso das operações com frações
No passado, quando as medidas eram expressas por frações, as operações com frações eram bastante utilizadas.
Hoje em dia, como usamos os números decimais para expressar as medidas, as operações com frações são menos usadas. Embora os livros didáticos apresentem vários problemas em que essas operações são utilizadas, a maioria é constituída por operações bastante artificiais.
Isso não quer dizer que as operações com frações sejam inúteis. Elas são importantes e até mesmo essenciais na Matemática mais avançada que envolve cálculos algébricos.
Por isso vale a pena o ensino das operações com frações. Apenas ressaltamos que, primeiro, as crianças devem compreender bem as idéias básicas e fazer apenas operações simples, sempre com o uso de desenhos e nunca decorando regras.
As técnicas operatórias, que discutimos nesta segunda parte da lição, só devem ser ensinadas depois que as crianças tenham compreendido perfeitamente o que significa cada operação.
Como o estudo de frações costuma ser feito em duas etapas ( 3a. ou 4a. série e, de novo, na 5a. série), as técnicas operatórias podem ficar para a segunda etapa.
Alguns especialistas em ensino de Matemática acham até que as regras só deveriam ser apresentadas quando os alunos já estão estudando os cálculos algébricos.
É uma questão polêmica que só pode ser resolvida por cada professor, em função de seus alunos. Não é prudente estabelecer regras gerais em casos como este.